Nombre auri

El nombre auri ( Φ ) o nombre d'or és el nombre que s'empra com a cànon de bellesa per moltes mesures. Es pot calcular de dues maneres:

1era manera

Dividir qualsevol nombre primer entre el seu anterior (com més gran sigui el nombre, més precisa l'aproximació). El problema d'aquest mètode és que no coneixem els dos últims nombres primers, per tant sempre treballem amb aproximacions

2ona manera

                _

        1+ √5

Φ = ――

          2

Acceleració

Acceleració mitjana

             Δv       v - v₀

amitj = ―― = ――

             Δt        t - t₀

On "t" és  temps final (en segons), "t₀" és  temps inicial (en segons),  "v₀" és velocitat inicial (en metres per segon (m/s)) , "v" és velocitat final (en metres per segon (m/s)), "Δt " és increment de temps (en segons) i "Δv" és increment de velocitat (en metres per segon (m/s)).

Velocitat mitjana

Velocitat mitjana

              Δx       x - x₀

vmitj = ―― = ――

              Δt        t - t₀

On "t" és  temps final, t₀ és  temps inicial,  "x₀" és posició inicial, "x" és posició final, "Δt " és increment de temps i "Δx" és desplaçament.

Sòlids platònics

Els poliedres regulars (o sòlids plàtonics) són aquells en què les cares són polígons regulars iguals, de manera que en cada vèrtex concorren el mateix nombre de cares. Són:

Tetraedre

4 triangles equilàters

Cub

6 quadrats

Octaedre

8 triangles equilàters

Dodecaedre

12 pentàgons regulars

Icosaedre

20 triangles equilàters

Disminucions i increments percentuals

Increments percentuals

                   r

c   ·  ( 1 +   ―  )

           100

On "c" és el valor inicial i "r" és el  % que s'augmenta.

Disminucions percentuals

                     r

c · ( 1 -  ―  )

            100

On "c" és el valor inicial i "r" és el  % que es disminueix.

Con

Àrea lateral

Alat = r · g · π

On "r" és radi i "g" l'hipotenusa del triangle rectangle que té com a catets l'altura i un radi del cercle que fa de base.

Àrea total

Atot = Alat + π · r ²

On "r" és radi.               

Volum

      Abase · h   

V = ――――

            3

On "Abase" és àrea de la base i "h" és altura.                                                          

Esfera

Àrea total

Atot =  4 · π · r²  

On "r" és el radi de l'esfera.

Volum     

       4

V =― π · r³

       3

On "r" és el radi de l'esfera.

Piràmide

Àrea lateral

              

            1

Alat = ―  p·A

           2

On "p" és apotema i "A" és l'hipotenusa del triangle format per l'altura i l'apotema de la base.

Àrea total

Ator = Abase + Alat

On "Abase" és àrea de la base i "Alat" és àrea lateral.                

Volum

        Abase · h   

V = ――――

              3

On "Abase" és àrea de la base i "h" és altura      

Cilindre

Àrea lateral

Alat = 2 · π · r · h

On "r" és el radi i "h" és l'altura.

Àrea total

Atot = Alat + 2 · π · r²

On "r" és el radi i "Alat" és àrea lateral.

Volum

V = Abase · h

On "Abase" és l'area de la base i "h" és l'altura.

Prisma

Àrea lateral

Alat. = p · h

On "p" és el costat que a la foto dóna profunditat i "h" és altura.

Àrea total

Atotal = Alat. +2 Abase

On "Alat." és àrea lateral i "Abase" és àrea base.        

Volum

V = Abase · h

On "h" és altura i "Abase" és àrea base.

Identitats notables

Quadrat de la suma

(a + b)² = a² + 2ab + b²

On "a" és un terme i "b" l'altre.

Quadrat de la diferència

(a -  b)² = a² + b² -2ab

On "a" és un terme i "b" l'altre.

Suma per diferència

(a + b) · (a - b)   = a² - b ²

On "a" és un terme i "b" l'altre.

Progressions Geomètriques

Terme general

An = a₁ · r ^( n-1)

Es llegeix: el terme enèssim (An) és igual al primer terme (a₁) per la raó (r) elevada al nombre enèssim (n) menys 1.

Suma dels "n" primers termes

          An · r - a₁      a₁ · [(r^n) – 1]

Sn = ―――― = ―――――― ; sempre i quan r ≠ 1

           r – 1                       r - 1

On "An" és el terme enèssim, "r" és la raó, "a₁" és el primer terme, "n" és el nombre enèssim.

Progressions Aritmètiques

Terme general

An = a₁ + ( n – 1 ) · d

On "An" és el terme enèssim, "a₁" és el terme inicial, "n" el nombre enèssim (pel que substituim) i "d" és diferència

  

Suma dels "n" primers termes

        

            a₁+An

Sn =―――― · n

                2 

On "An" és el terme enèssim, "a₁" és el terme inicial, "n" el nombre enèssim (pel que substituim) i "Sn" és el resultat 

Error absolut i realtiu

Error absolut

Eabsolut = | valor real – aproximació |

Error relatiu

                Eabsolut  

Erelatiu =――――

                Valor real

Fórmula general de les equacions de segon grau

Equacions completes de segon grau tipus ax²+bx+c=0

                 _______             

       -b ± √ (b²- 4ac)

x = ――――――

                  2a

On "a" és el coeficient del terme elevat al quadrat, "b" és el coeficient del terme elevat a 1 i "c" és el coeficient del terme independent.

Equacions completes de segon grau tipus ax²+bx=0

x · ( ax + b ) = 0


On "a" és el coeficient del terme elevat al quadrat i "b" és el coeficient del terme elevat a 1.

Equacions completes de segon grau tipus ax²+c=0

            _____

              -c

X= ±√ ――

               a

On "a" és el coeficient del terme elevat al quadrat i "c" és el coeficient del terme independent.

Teorema de Pitàgores en l'espai

Teorema de Pitàgores en l'espai

        ――――

D= √ x²+y²+z²

On "x", "y", i "z" són els diferents costats de l'ortoedre.

Fórmula d'Euler

Fórmula d'Euler (els poliedres convexos)

C + V = A + 2

On "C" és el nombre de cares, "V" és el nombre de vèrtexs i "A" és el nombre d'arestes

Teorema de Pitàgores

Teorema de Pitàgores

c² = b² + a² 

On "c" és la hipotenusa i "b" i "a" són els catets.

Circumferències

Longitud de la circumferència

L= 2 ·  π · r

On "r" és el radi de la circuferència.

Longitud de l'arc de la circuferència

     2 ·  π · r · gº

L= ――――――

            360º

On "g" són els graus de l'angle que comprèn el segment i "r" és el radi de la circuferència.

Angles interiors d'un polígon

Suma dels angles interiors d'un polígon

180º · ( n - 2 )

On "n" és el nombre de costats del polígon.

Suma dels angles interiors d'un polígon regular

180º · ( n - 2 )

――――――

           n

On "n" és el nombre de costats del polígon.

Àrees

Àrea d'un rectangle

A = a · b            

On "a" és un costat, i "b" l'altre.

Àrea d'un paral·lelogram                                                      

A = b · h

On "b" és la base i "h" és l'altura del paral·lelogram. 

Àrea del rombe

       D · d

A =―――

         2

On "D" és la diagonal llarga del rombe i "d" és la diagonal curta del rombe.

Àrea d'un triangle

      b · h

A =―――

        2

On "b" és la base i "h" és l'altura del triangle

Àrea d'un trapezi 

      ( B + b) · h

A =―――――

            2

On "B" és el costat paral·lel llarg del trapezi, "b" és el costat paral·lel curt del trapezi i "h" és l'altura del trapezi.

Àrea de qualsevol polígon regular

      P ·a

A =――

       2

On "P" és el perímetre del polígon i "a" és l'apotema

Àrea del sector circular

      π · r² · nº

A=――――

        360º

On "r" és el radi de la circumferència i "" són els graus que formen l'angle.

Àrea de la corona circular

 A= π · (R² · r²)

On "R" és el radi gran (total) i "r" és el radi petit (el que no es calcula, radi interior).

Àrea del trapezi circular

       π · nº · (R² · r²)

A=―――――――

            360º

On "R" és el radi gran (total) i "r" és el radi petit (el que no es calcula, radi interior) i "n" són els graus que formen l'angle.

Fórmules del moviment en caiguda lliure

En tots els casos prendrem la fricció com a 0 o insignificant.

Equació de la posició:

y= y₀ + V₀ · t  + ½ · g · t ²

On  "y" és la poisció, "y₀" és la posició inicial , "V₀" és la velocitat inicial, "g" és la gravetat (mesurada en  metres per segon al quadrat (m/s²)), "t" és el temps (mesurat en segons (s)).

Equació de la velocitat:

V = V₀ + g·t

On "V" és velocitat final (mesurada en metres per segon (m/s)),  "V₀" és la velocitat inicial (mesurada en metres per segon (m/s)), "g" és la gravetat (mesurada en  metres per segon al quadrat (m/s²)) i "t" és el temps (mesurat en segons (s)).

Altres equacions

V² - V₀² = 2 · g · ( y- y₀)

On "V" és velocitat final (mesurada en metres per segon (m/s)), "V₀" és velocitat inicial (mesurada en metres per segon (m/s)), "g" és la gravetat (mesurada en  metres per segon al quadrat (m/s²)),   "y" és posición final (en metres) i "y₀" es posición inicial (en metres).

Aquesta fórmula ens permet conèixer la gravetat si no tenim el temps. Però en aquest cas no ens serveix de gaire, ja que la gravetat a la terra és de -9,8 m/s²

Fórmules del Moviment Rectilini Uniformement Accelerat (MRUA)

Equació de la posició:

x = x₀ + V₀ · t  + ½ · a · t ²

On "x" és la posició, "x₀" és la posició inicial (en metres) , "V₀" és la velocitat inicial (en metres per segon (m/s)), "t" és el temps (en segons)  i "a" és l’acceleració (mesurada en metres per segon al cuadrat (m/s²)).

Equació de la velocitat:

V = V₀ + a·t

On "V₀" és la velocitat inicial (en metres per segon (m/s)),  "t" és el temps (en segons) i "a" és l’acceleració (mesurada en metres per segon al cuadrat (m/s²)).

Altres equacions

V² - V₀² = 2 · a · ( x- x₀)

On "V" és velocitat final (en metres per segon (m/s)), "V₀" és velocitat inicial (en metres per segon (m/s)), "a" és acceleració (mesurada en metres per segon al cuadrat (m/s²)), "x" és posició final (en metres) i "x₀" és posició inicial (en metres).

Aquesta fórmula ens permet conèixer l’acceleració si no tenim el temps.

Fórmules del Moviment Rectilini Uniforme (MRU)

Equació de la posició:

x = x₀ + V₀ · t

On "x" és la posició final (en metres) "x₀" és la posició inicial (en metres), "V₀" és la velocitat inicial (en metres per segon (m/s)) i "t" és temps (en segons (s)).

Equació de la velocitat:

Al no tenir acceleració, el cos sempre va a la mateixa velocitat.

V = V₀